欧拉公式:

$$ \mathrm{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $$

关于 $\omega$

$$ \omega^3=1,\omega+1=-\omega^2,\omega^2+1=-\omega $$

e.g.1:

分解因式: $ x^5\! -1 $

解}:

$$\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}$$

$$\cos\frac{6\pi}{5}+i\sin\frac{6\pi}{5},\cos\frac{8\pi}{5}+i\sin\frac{8\pi}{5},1$$

由 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}+x^{x-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

可得: $$x^5-1$$

$$=(x-1)(x-\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5})(x-\cos\frac{4\pi}{5}-i\sin\frac{4\pi}{5})(x-\cos\frac{6\pi}{5}-i\sin\frac{6\pi}{5})(x-\cos\frac{8\pi}{5}-i\sin\frac{8\pi}{5})$$

因为 $$ \cos\frac{8\pi}5+i\sin\frac{8\pi}5=\cos\frac{2\pi}5-i\sin\frac{2\pi}5, $$

与 $$ \cos\frac{2\pi}5+i\sin\frac{2\pi}5 $$ 共轭,又

$$ \cos\frac{6\pi}5+i\sin\frac{6\pi}5=\cos\frac{4\pi}5-i\sin\frac{4\pi}5, $$

与

$$ \cos\frac{4\pi}5+i\sin\frac{4\pi}5 $$

共轭，并且:

$$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $$

所以:

$$ (x-\cos\frac{2\pi}5-i\sin\frac{2\pi}5)(x-\cos\frac{2\pi}5 +i\sin\frac{2\pi}5) $$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-\cos\frac{2\pi}5)^2+(\sin\frac{2\pi}5)^2 $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^2-(2\cos\frac{2\pi}5)x+1,(x-\cos\frac{4\pi}5-i\sin\frac{4\pi}5)(x-\cos\frac{4\pi}5+i\sin\frac{4\pi}{5}) $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^2-(2\cos\frac{4\pi}5)x+1 $

所以，在实数集内，可得:

$$x^5-1$$

$$=(x-1)[x^2-(2\cos\frac{2\pi}5)x+1][x^2-(2\cos\frac{4\pi}5)x+1]$$

在有理数集内，可得:

$$x^5-1$$

$$=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$(x^4+x^3+x^2+x+1)$

因为 $(x^4+x^3+x^2+x+1)$ 是分圆多项式

所以 $(x^4+x^3+x^2+x+1)$ 在有理数集内是既约多项式

关于$\omega_n^k$

$$ {\omega^k_n=\cos\frac{2kn}{n}}+i\sin\frac{2k\pi}{n}(k=1,2,\cdots,n)=e^{\frac{2k\pi}{n}i} $$

$1)\omega^k_n=\omega^{k\%n}_n$

证：$\omega^k_n=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}=\cos\dfrac{2(k\%n)\pi}{n}+i\sin\dfrac{2(k\%n)\pi}{n}=\omega^{k\%n}_n$

其中倒数第二步是当$k\ge n$时，将$k$约去得到$k\%n$.

$2)\omega^k_n=(\omega^1_n)^k$

证：$\omega^k_n=e^{\frac{2k\pi}{n}i}=e^{\frac{2\pi}{n}i\times k}=(e^{\frac{2\pi}{n}i})^k=(\omega^1_n)^k$

$3)\omega^0_n=1$

证：$\omega^0_n=\cos0+i\sin0=1+0i=1$

$4)\omega^k_n\times \omega^j_n=\omega^{k+j}_n$

证：$\omega^k_n\times \omega^j_n=(\omega^1_n)^k\times(\omega^1_n)^j=(\omega^1_n)^{k+j}=\omega^{k+j}_n$

$5)\omega^{pk}_{pn}=\omega^k_n$

证：$\omega^{pk}_{pn}=e^{\frac{2pk\pi}{pn}i}=e^{\frac{2k\pi}{n}i}=\omega^k_n$

$6)\omega^{k+\frac{n}{2}}_n=-\omega^k_n$

证：$\omega^{k+\frac{n}{2}}_n=\omega^{\frac{2k+n}{2}}_n=e^{\frac{(2k+n)\pi}{n}i}=e^{\frac{2k\pi}{n}i+\pi i}=e^{\frac{2k\pi}{n}i}\times e^{\pi i}=-e^{\frac{2k\pi}{n}i}=-\omega^k_n$

以上来自李琰，经我检验，没锅。

排列和组合数证明

$$A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}(k\le n),0!=1$$

证明